Egregium · laboratorio de geometría intrínseca

Esfera arrastra: girar · clic: mover P · rueda: zoomarrastra: girar · toca: mover P · pellizca: zoom

Curvatura en P

calculado intrínseco

K Gauss: —
H media: —
κ₁ principal: —
κ₂ principal: —

—

Superficie

Elige una forma y mueve sus parámetros. Haz clic sobre la superficie para llevar el punto P ahí: en el toro o la silla verás cómo K cambia de un punto a otro.

base y plano tangente en P

Curvatura

—

El color es la curvatura en cada punto: granate K>0, neutro K=0, lapis K<0. Voltea la normal y verás que H y κ cambian de signo… pero K no: es lo intrínseco.

Geodésicas y transporte

geodésica desde P (verdigris)

dirección0°

transporte paralelo en un lazo

holonomía Δθ = — ∬K dA = —

La geodésica es «la recta» del mundo curvo (en la esfera, un círculo máximo). Transporta un vector por un lazo cerrado: vuelve girado un ángulo Δθ = ∬K dA — el Theorema Egregium hecho gesto.

Theorema Egregium

K extrínseca 2ª forma + normal

K—

K intrínseca Brioschi · solo métrica

K—

—

Las dos K se calculan de formas completamente distintas —una mira cómo se dobla en ℝ³; la otra solo mide distancias dentro— y coinciden. Eso es el Theorema Egregium: la curvatura es intrínseca. Si K≡0 la superficie es secretamente plana (se desenrolla sin estirar): el cilindro y el cono sí; la esfera, jamás.

El vector w

calculado

contravariantes wⁱ · paralelo

w¹—

w²—

covariantes wᵢ · perpendicular

w₁—

w₂—

Convención (Einstein/Ricci): índice arriba = contravariante (wⁱ); índice abajo = covariante (wᵢ).

—

g_ij g₁₁ = — g₁₂ = — g₂₂ = —

La base

Ángulo entre e₁ y e₂65°

base dual

Gira la base y observa cómo w¹,w² (granate, paralelo) y w₁,w₂ (lapis, perpendicular) se separan. En 90° se funden en uno: ahí vivías en primero de carrera, sin tener que distinguirlas.